Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 & 6 & - 7 3 & - 9 & 10 - 1 & 3 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 + 0 & - 7 + 0 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$6$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 + 0 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$- 7$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((- 9 - λ) (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Développez

$(- 9 - λ) (- 3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$- 9$ par

$- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.2

Additionnez

$9 λ$ et

$3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 12 λ + λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez

$- 3$ par

$10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 12 λ + λ^{2} - 30) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez

$30$ de

$27$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (12 λ + λ^{2} - 3) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$12 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (3 (- 3 - λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (3 \cdot - 3 + 3 (- λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 + 3 (- λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez

$- (- 1 \cdot 10)$ .

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Étape 5.3.2.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ - - 10) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ + 10) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Additionnez

$- 9$ et

$10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (3 \cdot 3 - - (- 9 - λ))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - - (- 9 - λ))$

Étape 5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (- - 9 - - λ))$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 - - λ))$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez

$- - λ$ .

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Étape 5.4.2.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 + 1 λ))$

Étape 5.4.2.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 + λ))$

Étape 5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - 1 \cdot 9 - λ)$

Étape 5.4.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - 9 - λ)$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez

$9$ de

$9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (0 - λ)$

Étape 5.4.2.3

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Développez

$(- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (12 λ) - 2 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez

$12$ par

$- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ - 2 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 3$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

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Étape 5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$12$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 12 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.2.7

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 12 λ^{2} + 3 λ - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.3

Soustrayez

$12 λ^{2}$ de

$- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} + 3 λ - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.4

Additionnez

$- 24 λ$ et

$3 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} - 6 (- 3 λ) - 6 \cdot 1 - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.6

Multipliez

$- 3$ par

$- 6$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 \cdot 1 - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.7

Multipliez

$- 6$ par

$1$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 - 7 (- λ)$

Étape 5.5.1.8

Multipliez

$- 1$ par

$- 7$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 + 7 λ$

Étape 5.5.2

Associez les termes opposés dans

$- 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 + 7 λ$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez

$6$ de

$6$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ + 0 + 7 λ$

Étape 5.5.2.2

Additionnez

$- 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ$ et

$0$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ + 7 λ$

Étape 5.5.3

Additionnez

$- 21 λ$ et

$18 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 7 λ$

Étape 5.5.4

Additionnez

$- 3 λ$ et

$7 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} + 4 λ$

Étape 5.5.5

Remettez dans l’ordre

$- 14 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} + 4 λ$